Kısmi İntegrasyon
Kısmi integrasyon, bir fonksiyonun integralini bulmak için kullanılan bir matematiksel tekniktir. Bu teknik, bir fonksiyonu iki fonksiyonun çarpımı olarak ifade ederek ve ardından bu fonksiyonların integrallerini alarak uygulanır.
Kısmi integrasyon formülü şu şekildedir:
∫ u dv = uv - ∫ v du
Burada, u ve v iki fonksiyondur ve du ve dv bunların türevleridir.
Kısmi integrasyon tekniği, aşağıdaki adımları izleyerek uygulanır:
- Fonksiyonu iki fonksiyonun çarpımı olarak ifade edin.
- Bu fonksiyonların türevlerini alın.
- Kısmi integrasyon formülünü uygulayın.
- Integrali çözün.
Kısmi integrasyon tekniği, birçok farklı integral türünü çözmek için kullanılabilir. Bu teknik, özellikle trigonometrik fonksiyonların integrallerini çözmek için yararlıdır.
Örnekler
- Örnek 1:
∫ x sin(x) dx
Bu integrali çözmek için, kısmi integrasyon tekniğini şu şekilde uygulayabiliriz:
- u = x ve dv = sin(x) dx
- du = dx ve v = -cos(x)
Kısmi integrasyon formülünü uygulayarak, aşağıdaki sonucu elde ederiz:
∫ x sin(x) dx = -x cos(x) + ∫ cos(x) dx
∫ cos(x) dx = sin(x) + C
Bu nedenle,
∫ x sin(x) dx = -x cos(x) + sin(x) + C
- Örnek 2:
∫ e^x sin(x) dx
Bu integrali çözmek için, kısmi integrasyon tekniğini şu şekilde uygulayabiliriz:
- u = e^x ve dv = sin(x) dx
- du = e^x dx ve v = -cos(x)
Kısmi integrasyon formülünü uygulayarak, aşağıdaki sonucu elde ederiz:
∫ e^x sin(x) dx = -e^x cos(x) + ∫ e^x cos(x) dx
∫ e^x cos(x) dx = e^x sin(x) – ∫ e^x sin(x) dx
Bu nedenle,
∫ e^x sin(x) dx = -e^x cos(x) + e^x sin(x) - ∫ e^x sin(x) dx
Bu denklem, birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemdir. Bu denklemi çözmek için, aşağıdaki adımları izleyebiliriz:
- Denklemin her iki tarafına e^-x çarparak,
e^-x ∫ e^x sin(x) dx = -e^-x e^x cos(x) + e^-x e^x sin(x) - e^-x ∫ e^x sin(x) dx
- Denklemin sol tarafını ve sağ tarafının son terimini birleştirerek,
(1 + e^-x) ∫ e^x sin(x) dx = -cos(x) + sin(x)
- Denklemin her iki tarafını (1 + e^-x) ile bölerek,
∫ e^x sin(x) dx = (-cos(x) + sin(x))/(1 + e^-x)
Bu nedenle,
∫ e^x sin(x) dx = (sin(x) - cos(x))/(1 + e^-x) + C
Sonuç
Kısmi integrasyon, bir fonksiyonun integralini bulmak için kullanılan güçlü bir matematiksel tekniktir. Bu teknik, birçok farklı integral türünü çözmek için kullanılabilir.